Зачет "Метод координат в пространстве"

Карточка 1.
1.    Расскажите, как задается прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора.
2.    Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин.
3.    Дан куб АВСDА1В1С1D1, точка М – центр грани АА1D1D. Вычислите угол между векторами  ВМ  и В1С.

Карточка 2.
1.    Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.
2.    Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.
3.    Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если  А(1;1;0), В(3;-1;0),

 С(4;-1;2), D(0;1;0).

Карточка 3.
1.    Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение.
2.    Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
3.    Даны точки  А(0;4;0), В(2;0;0), С(4;0;4), D(2;4;4). Докажите, что ABCD  ромб.

Карточка 4. 
1.    Сформулируйте основные свойства скалярного произведения  векторов. Докажите некоторые из этих свойств.
2.    Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.
3.    Даны координаты трех вершин параллелограмма АВСD: А(-6; -4; 0), В(6; -6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и угол между векторами АС  и  ВD.

Карточка 5. 
1.    Докажите, что центральная и осевая симметрии являются движениями.
2.    Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.
3.    Даны векторы   а{ 1; 2; -1},  b {-3; 1; 4},   c{3; 4; -2} и  d{2;-1;3}. Вычислите скалярное произведение ( a+2b )×(c -d ).
Карточка 6. 
1.    Докажите, что зеркальная симметрия   и параллельный перенос являются движениями.
2.    Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.
3.    Даны координаты вершин тетраэдра МАВС: М(2; 5; 7), А(1; -3; 2), В(2; 3; 7), С(3; 6; 0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника АВС.